你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲讲了一元三次方程的解法，说里面可能涉及到一种并不存在的虚数。也就是说它们自身的平方是负数。
虚数在现实中显然不存在，我这讲会通过这个例子告诉你，数学家是如何虚构一个现实中不存在的概念，解决现实问题的。
我们在初中学到平方根这个概念时，老师会说，只有正数和零才有平方根，没有哪个数字自己乘以自己会等于负数。在解二次方程时，我们可能会遇到根号里面有一个负数的情况，但是老师说，不用管它，我们就认定它无实数解即可。
但是当学到了三次方程时，这个问题就回避不了了，因为根据上一讲介绍的公式，即使一个有实数解的三次方程，在求解的过程中，也会遇到要对负数开根号的情况。比如下面这个方程：
X^3-15X-4=0
显然X=4是一个解。
但是，如果我们利用昨天说的费拉里-塔尔塔利亚公式算，得到的是这样一个解，听音频的朋友可以看一眼，你不用关注细节，只要留心里面有√-121就好。
于是给负数开根号这件事就绕不过去了。数学家们只好虚构出一个数，让它的平方等于-1，这个数我们常常把它写成字母i，就是拉丁语中imagini（相当于英语中的image）“影像”一词的首字母，它代表非真实、幻影的意思。
有了这个人造的、虚幻的数，上面那个复杂的一堆根号的式子就能计算下去了，而且算出来就是4。你可能会问其中的虚数去哪里了，很有意思的是，它们正负抵消了，数学基础比较好的同学可以自己推导一下，算是留给你的思考题。
这件事你如果细想是很有意思的。如果我们真实的世界里有一个三次方程，比如给一些限制条件后计算一个长方体的尺寸，也就是解三次方程的问题，卡尔达诺等人找到了一个公式，可以计算出问题的答案，但是算到一半你就遇到一堵墙越不过去了，于是你引入一个不存在的工具，用了一下就翻过墙了。
这在哲学上其实很有意思，明明是现实世界的问题，而且在现实世界里也有答案，但是却无法直接得到，非要发明一个不存在的东西作为桥梁。
怎么能够形象地理解虚数这种抽象概念的作用呢？我们的数学课基本上不讲，老师只是说，记住它的定义就好，回头学生们就一头雾水了。我通常用三个例子来形容它的作用。
一个是化学中的催化剂。我们知道，催化剂在化学反应完成前后是不改变的，它只是起到一个媒介的作用，但是没有它，化学反应要么特别慢，要么干脆进行不下去。
另一个例子不算太确切，但是好理解，就是传话筒。我们经常看到这样的现象，夫妻俩吵架后，谁也不愿意和对方说话，但是都清楚这个交流不能中断，要继续下去，于是就找孩子带话，比如教孩子说：“去，和你妈说明天的家长会我去，她就不用去了。”孩子把这个意思传递后，又带回一句话：“妈妈说，你要是去开家长会，她就先回家做饭了。”
这样传几次话，可能夫妻间的问题就解决了。在这个过程中，夫妻间的问题不涉及到孩子，孩子在传话时甚至不明白其中的含义，但是没有这个局外的传话筒，夫妻之间的问题可能就解决不了了。
最后一个例子是虫洞。我们接下来就开一下脑洞。假如你和一个相爱的人在同一个宇宙中，但相隔几十光年，你想对她说一句我爱你，但哪怕你搭载光速飞船去找她，她听到的时候都已经老了。
现在有一个虫洞，你可以从中穿过去，在瞬间到达另一个平行宇宙中，然后再从另一个虫洞穿回现在的宇宙，这也是瞬间的事情，这样你就能很快到她身边了。你们二人本来是在同一个宇宙中，但是却要依赖另一个和你们无关的宇宙来回穿越。
虚数也是如此，在上面的式子中，我们把它创造出来，又把它正负相抵消，该得到实数的答案依然是实数的。从更广义的角度讲，很多数学工具都是如此，它们并非我们这个世界存在的东西，而是完全由逻辑虚构出来的。但是我们现实世界的事情，却要用这些虚构的工具来解决。
那么虚数除了解三次方程还有什么用？它的用途可以归结为三个层面。
第一个层面是对于数学本身的影响。引入虚数的概念后，数学的一些逻辑上可能的漏洞就被补上了。
比如说，在实数的范围内，X^2+1=0是无解的，这样一来，有的多项式方程有解，有的无解，数学就不完美了。引入一个虚拟的概念，虚数i，就让所有的方程都变得有解了。更漂亮的是，引入虚数的概念后，所有的一元N次方程都会有N个解，没有例外。
第二个层面是作为工具的作用。有了虚数之后，很多复杂的数学问题，可以用简单的方法解决，这就如同前面介绍的三次方程的解法问题。这个问题虽然引出了虚数的概念，但是并不是它最大的用途。虚数作为数学工具最大的用途，可能是便于将直角坐标变成极坐标。
关于这两种坐标我们后面还会讲，简单地讲，在飞行、航海等场景里，极坐标更方便使用，比如我们说往两点钟的方向飞行20公里，这就是极坐标的描述方式。在极坐标的计算中，如果只用实数，非常复杂，如果引入虚数，就极为简单。
第三个层面是应用层面。量子力学、相对论、信号处理、流体力学和控制系统的发展都离不开虚数。
通过虚数这个例子，我首先想说的是，人类可能是唯一一个能够构想出不存在的事物的物种，这个能力对我们来讲非常重要。在我们生活的世界里，存在着大量的构想出来的东西。比如早期的人类要靠宗教崇拜团结起来，虽然最后一起去打仗，去探险的都是人，但是要没有宗教，人和人直接沟通，达不到团结的目的。
今天虽然大家不太需要宗教了，但是很多虚拟的概念已经深入我们人心，比如法律、有限公司、法人团体等概念便是如此，它们在自然界中并不存在，只是人们脑子里构建出的概念，但是如果没有它们，这个社会就运行不下去。当我们习惯于使用这些虚构的概念后，就会把它们真实化，感觉和真的一样。
为了让大家更好地理解这一点，我们不妨看一个法律学的概念——法人。
在早期的罗马法中，提出了法律主体的概念，它最初只涉及到自由人，后来因为要处理经济纠纷，就把一些机构看成是法律的主体，当作人一样看待，这就是法人概念的来源。这些法人，其实就相当于数学中所说的虚数的概念。
我们今天和一个公司打官司，其实在打官司的过程中接触到的还是人，但是你不会去告里面某个具体的人，而是针对这个虚构出的组织。当你打赢这个官司后，是里面具体的人执行对你的赔偿，但是你拿到的赔偿却是法人这个机构给你的。这就如同解方程时，我们需要借助于虚数，得到实数的解一样。
今天，衡量一个人认知水平的一个方法，就是看他接受虚拟概念的能力有多强，如果他只停留在看得见摸得着的东西，这个人的水平就不是很高。我们经常说那些只知道买房置地，收藏奢侈品的人是土财主，其实也是这个道理。
其次，虚数的出现，标志着人类对数这个概念认识的进步，特别是从形象思维到抽象思维的进步。
人类早期认识的数字都是正整数，1，2，3，4……因为大家接触到的周围的世界就是这样实实在在一个又一个的东西。事实上除了古印度，其他文明在早期数字中都没有零这个数，因为零这个概念比较抽象，人类从有数字开始花了几千年才搞明白。
接下来有了数字就要做运算，两个自然数相加或者相乘，结果还是自然数。但是，到做减法和除法时就出现了问题，因为2-3=？，2/3=？在自然数中找不到。于是人们就发明了负数和分数（就是有理数）的概念。这两个概念就比自然数要抽象一些了。
很多人觉得数学越到后来越难学，就是没有能突破抽象思维的瓶颈。有了正负的概念，有了分数的概念，就形成了有理数的概念，加减乘除和乘方五种运算就都没有问题了。自从毕达哥拉斯定理被发现，人类就不得不面对开方这件事，就不得不定义出无理数。
再往后，又因为要对负数开方，便发明了虚数的概念。实数和虚数合在一起，就形成了复数。我把人类认识数的过程用一张图表示出来，它是从中心往四周扩散的：
那么复数有什么用呢？为什么要搞出这么一个在现实世界中完全不存在的概念呢？仅仅是为了让开方运算变得完备么？当然不是。复数是一个非常强大的数学工具，使用这个建立在现实生活中所不具备的事实的基础之上的数学工具，可以解决很多现实世界里的问题。
这句话可能听起来有点绕口，换一种方式讲是这样的，复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。
比如我们使用的三相交流电是实实在在地存在的，它里面的很多问题，用复数这个工具解决，要比用实数加上三角函数解决起来容易得多。实际上，涉及到电磁波的几乎所有问题，都需要使用复数这个工具来解决。
对于今天的内容，你如果体会到像虚数这样媒介工具的作用，以及通过数字的扩展历史，体会到人类认知升级的过程，就算是掌握精髓了。
下一讲，我们再继续突破认知，去理解无限的世界。欢迎你把文章分享到自己的家长群，帮助家长朋友们重新理解数学，帮孩子把数学变得更容易。我们下一讲再见。
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77 赞#数学助教# - “i”给你答案 【关于文中的根式解】 只要知道： （1）(11*i)^2 = -121。 （2）(2 + i)^3 = 2 + 11*i；(2 - i)^3 = 2 - 11*i。 就可以得到：原式 = (2 + i) + (2 - i) = 4。 【现实中不存在的 n 维空间】 生活在三维空间的我们，确实难以想象高维的世界。 但是，作为每天跟数据打交道的科研girl，天天都在面对 n 维的“数据空间”，每一个特征就是一个维度。 例如，一群细胞表达了30000个基因，这组成了一个 30000 维的空间。分析数据的人通常还会假设，这些 *高维* 数据其实分布在一个 *低维* 的“流形”上。 就好像，人们只要用二维的“经纬度”就能刻画三维的地球表面上的每一个位置；将一个三维的纸筒展开，其实是一个二维平面。 事实上，在人工智能领域中，很多研究都在致力于探索这个 *低维* 的数据流形。 现实中不存在的 n 维空间，却时时刻刻帮我们解决现实问题。 【想象力让人类区别于动物】 棉花糖实验，大多数被解释为： 那些为了15分钟后多给的一块糖，而抵制了面前糖果的诱惑的小孩，拥有更强的“自制力”，因此他们的未来也更加成功。 然而，这个实验还有另一种解释： 那些所谓“自制力”更高的小孩，其实是有更强的想象力；15分钟后的奖励，在他们面前是那么的真实，似乎就在他们面前，似乎让他们感觉到了甜蜜。 更进一步，我们可以利用“想象”来对抗拖延症。 把一件事情的流程具体化，并想象你进行它的全过程： 坐上公交车 10 分钟到了健身房，换好运动的衣服，站上跑步机，给蓝牙耳机设置一首喜欢的歌，按下“开始”，调整速度，忘我地奔跑，感受那种多巴***和内啡肽带来的愉悦，热身后休息片刻，弯腰拿起杠铃…… ---------- # 就像文中说的，虚构出来的“i”，充当了很多数学问题里的“催化剂”。 利用虚构的事物，也能在真实世界中，搭起一座桥梁，让很多问题得到“和解”。 # 如果两个人之间的矛盾始终得不到解决，可能他们之间少了点 “i”。11小时前
35 赞#数学助教# 从这一节开始，数学通识课进入了相对高等的范畴，开始涉及一般会出现在大学里的数学概念。没关系，继续跟上，相信你可以听得懂。 先讲一丢丢【虚数和极坐标的关系】： 虚数i这个东西，你说它不存在，不接受；其实数学家也不愿意接受，也知道在实数轴上没有i这个点。那数学家咋办呢？不存在就造呗！他们在实数轴上又画了一条垂直于实数轴的虚轴，把实数轴变成了一个笛卡尔坐标系。现在一个虚数 z = x + y*i，可以表示成平面上的一个点(x,y)了。 光是这还不够，数学家说，我要是把笛卡尔坐标系换成极坐标系，用角度和半径来描述这个点的位置行不行？于是就有了 z = x + y*i = r* ( cos(θ) + i* sin(θ))。就这样，复数和极坐标建立起了联系。 为了这一讲，我翻出了几年前在慕课听的复变函数的笔记。又回忆起了被一门纯数学课支配的恐惧。 一门数学课，无论是中学时候学的无理数、三角函数，还是大学里的线性代数，复变函数，它们的讨厌之处就在于一上来二话不说塞给你一个概念定义，后面跟着一大堆用这个定义推导的结论。而你可能要等到好久以后才能发现这个数学工具是要用在哪里，有多好用。 我们说磨刀不误砍柴工，但是如果你磨刀的时候根本不知道要拿它去砍柴，那恐怕没几个人能坚持在刺耳的声音里一直磨刀下去，到了砍柴的时候大部分人才突然发现我的刀是钝的。我觉得这就是今天大学里大部分普通人的真实写照。 怎么破？我觉得有两种办法。 第一种也是最直观的，你如果想象不出来你要砍的柴长啥样子，就去找一根来看看。去网上搜索一下哪个科目用到了这些数学工具。往往越初级的数学工具使用也就越广泛，去图书馆翻一本用到这个工具的物理书或者工科教材，最好找那种推导贼详细的。你去看看人家用到了啥知识点，解决了啥问题。然后对自己说：看见这棵树没有？你现在还砍不动它，你这一学期的任务就是磨刀，到期末，把它砍断！ 第二种，虽然历史上有一些数学工具是等要用到的时候才被发明，比如爱因斯坦的张量，海森堡的矩阵论，但是也有很多工具是早就被数学家研究过等待被使用的。比如复数教材里，定义了虚数i以后，虚数的加减乘除等一大堆性质就自然被带出来了。这时候 学习的你就好像面对着一颗被剥好的柚子，或者一大把被去皮的瓜子仁，虽然吃起来毫不费力，但也少了几分自己剥开果皮的乐趣。此时你不妨合上书本，自己动手推导一下复数做四则运算应该有的性质，重新享受一遍剥开柚子皮吃到肉的乐趣。除非你遇到一颗打不开的核桃——思路被卡住了，才打开书本继续给你找点启发。 思考题：让我们剥一下这颗“柚子”。根据上面提到的复数和极坐标的关系，你能不能推导一下，两个复数相乘，放在极坐标系里面是啥样子的呢？再往前一步，一个复数做平方、立方、n次方又如何用极坐标表示呢？ (提示：复数z1和z2，对应的极坐标可以设为r1，θ1和r2，θ2。用你熟悉的乘法、三角函数来推试试看。不要想当然觉得和向量乘法一样哦)11小时前
25 赞我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。 有理数是伴随人们的生产实践而产生的。 无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。 不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。 “虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。 到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。 1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式： 形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下： x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3 当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那个年代，负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。 直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。 虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。” 继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。 1843年，威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）将平面中的虚数轴的概念扩展到四元数想象的四维空间，其中三个维与复数域中的虚数相似。 随着多项式环的商环的发展，假想数的概念变得更加显著，但是也可以找到其他虚数，例如具有+1的平方的tessarines的j。 这个想法首先出现在1848年开始的James Cockle的文章中。11小时前
19 赞＃数学助教＃ ＃复数域与催化剂＃ ● 数域 人类所能研究的数字对象一步步从整数拓展到分数，从有理数拓展到无理数，从实数拓展到复数，在数学中，对应着「数域」的不断扩大。数域是一个集合的概念，如果集合P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个「数域」。 常见的数域有复数域C、实数域R、有理数域Q。其中，有理数域Q为最小数域，任意数域P都包括有理数域Q。复数域C是目前最大的数域，建立在最大数域（复数域）上的「复变函数」具有最完备的性质与最广泛的应用领域，例如课程中提到的量子力学、流体力学与通信领域。 ● 催化剂 再讲一个和化学相关的概念：催化剂。 催化剂的作用是「改变」反应所需要达到的活化能，能降低活化能的叫正催化剂，提高活化能的就是负催化剂。也就是说，化学反应，从反应物到产物，从能量角度看需要翻越一座「山」，这座山的高度就是活化能，通常意义上的催化剂的作用就是降低这座山的高度，使反应物更容易翻过山，变成产物，也就是加快反应的进行，对反应起到正贡献，故称为「正催化剂」。正催化剂的例子很多，比如说人体中的各种酶，唾液中的淀粉酶就会加快淀粉分子的分解； 但是也有一种催化剂，它们会增高「山」的高度，使反应更难发生，对反应起到负贡献，故称为「负催化剂」。比如有些反应过快，可能瞬间放出大量能量引起危险，这时可以加入负催化剂，控制反应速率上，最常见的就是「抗氧化剂」，例如橡胶一类的材料，用久了都会发黄变硬，其实这都是「被氧化」的后果，如果在材料中适量加入抗氧化剂，可以大大减缓材料与空气中的氧气相互反应，延长材料的使用寿命。11小时前
12 赞#数学助教# 随手画个数轴，取2个点 a=1， b=4。 考虑下，如何经过2次相同的操作，把a变成b。换句话说，1*X*X=4。这个操作应该很简单，可以把a先拉长2倍，再拉长2倍(2^2=4)。或者是a往相反的方向拉长2倍，之后再往相反的方向拉长2倍((-2)^2=4)。如果a=1，b=-1呢？在一条数轴上，还真没有解决方法。但是加一条正交的呢？把一条数轴和与它成90度的另一条构成一个直角坐标系，这时候，就能找到一种变换方式。逆时针旋转90度，连续2次旋转之后1变成了-1。 1*X*X=-1, X=i 平面直角坐标系里，一个点(a,b)可以认为是a份X轴单位向量和b份y轴单位向量的叠加，也就是(a,b)=a*(1,0)+b*(0,1)。回到用想象的方式扩展的数轴，在这样一个平面里，一个点可以(a,b)是a份实际存在的和b份想象的叠加。 (a,b)=a*1+b*i=a+bi。称这种数字为复数，这样的平面为复平面。 前面只是从直观感受上，认为逆时针旋转90度是*i。那么对于任意一个复数，也是相当于旋转一定角度吗？证明比较简单。 2个复数，a+bi 和 c+di,先把它们改写成极坐标形式 a+bi = r1*(cos α+i*sin α) c+di = r2*(cos β+i*sin β) 相乘， (a+bi)*(c+di) = r1*r2*(cos α* cos β - sin α*sin β + i*(cos α*sin β + sin α*cos β)) 根据三角函数和角公式， (a+bi)*(c+di) = r1*r2*(cos(α+β)+i*sin(α+β)) 也就是说，2个复数相乘，效果是旋转角度相加，旋转半径相乘 这东西有什么用？距离来说，一架飞机的飞行路线的每段都可以表示为，往方向m飞了n距离（飞机一般把正北认为是0度，东90度）。想要知道k段时候的位置，需要把这k段飞行叠加起来，再和初始位置对应。用复数计算相当简单，把每段r θ转换成a+bi的形式，然后全加起来即可。再转换回极坐标形式，就是等效的最终位置。转弯类似，用之前的角度对应的复数乘以旋转角度对应的进行计算10小时前
10 赞虚数的存在让我第一时间想到了几何里的辅助线，借助于我们创造出来的工具解决了现实存在的问题。这种思想也可以用在其他地方，比如物理学的理想状态，以及现实存在的种种模型。 模型都是错的，不过一些有用。有些东西确实不存在，但是却可以改变世界。 往往是我们思想上发生了改变，才会导致了行动上的变化。基于对未来世界的想象，我们才会在对现实世界进行相应的改善。 我相信未来会更好，是因为我们都相信，并因此做出努力，自然会变得更好。11小时前
7 赞没有i不理解数学的乐趣； 没有爱不懂生活的真谛。5小时前
7 赞#一起学数学 DAY13# 这一讲听虚数，我不禁觉得人类提出or发明出虚数，就像是用想象力重新创造了一个空间。 为什么这么说？因为这个是人定义出来的。 如果说之前的定理和规律，是人类的发现。那对虚数的提出，就是把边界往思想的层面又递进了一层。 无解的方程，引入了新的虚数概念后，有一层世界被打开。这么想来，那些所谓的"未解之谜""无解的事情"，是不是就应该按照"重新定义"的方法，发现探索一个新的世界。11小时前
6 赞正是这种强大的想象力让人类真正跨越了从动物到人的“鸿沟”。 人类的想象力是一种独有的强大“脑补”能力，比如在我们欣赏音乐时，不需要任何画面，就能根据听到不同的音乐曲调，从中感受到或悲伤、或快乐、或激昂、或恐惧的感觉。在同一部音乐作品中，随着旋律的变化，感觉也会随之不断起伏。更加神奇的是，音乐带给人的感觉可以超越人种、文化、地域，让不同的人获得相似的体验。也许在动物听来这些感觉都不存在，不过就是听到一种声响而已吧。 正是对这种虚拟世界的想象力，引领人们不断打破可感知世界的“禁锢”，发现更多未知。6小时前
4 赞抽象能力就是建立思想脚手架的能力。比如在大脑中构想出来一些目标和道路，然后牵引着自己往前走，所谓做事效率高，很多时候就是目标感强，问题意识强，能够不断聚焦，管理的核心就是目标管理。 针对我们现代生活和工作，目标能力本质上就是一种想象能力，因为很多目标和过程指标基本就是数字，是根本看不到抓不着的，而所谓的组织的文化和价值观就是多个人所持有的共同想象，这些目标、指标、文化、价值观都是我们实现具体任务的脚手架，有的用完即拆，有的需要一直存在下去，变成一种想象中的传承。 那些可以不断扩大自己思想边界的人，有个特点，每隔一段时间就要把自己正在做的事情往上抽象一层，这样你的边界就被不断放大了，比如美团的王兴把自己的团购和外卖向上抽象成了到店和到家两种服务，服务的边界和想象力一下子就大了很多。5小时前
3 赞虚数太精妙了，在日常生活中我们使用的支付宝，区块链，金钱，还有中介平台类的企业不都是虚数的提现吗？他们并不生产东西，而是提供信用保障，但是就是他们的存在，缺大大的促进了交易的发生，个人信用和虚数一样，都是人脑虚构出来的东西。我们的基因里有就这样东西，我们总会相信一些自己虚拟出来的东西，可能这就是所谓的信仰基因，也许我们总在生活中寻找生活的意义，认同感，就是一种寻找拟制的信仰4小时前
3 赞听了今天的课有种热泪盈眶的感觉，这几天我一直在思考不存在主义哲学，之前并没有接触到这个概念，想到这是通过体悟精神分析和佛学中的要义，慢慢领会到不存在思维的存在，我昨天还在万维刚老师专栏留言中提到过，今天就被吴军老师证实了，好激动！ 其实通过不存在思维，似乎还能解释很多现象，比如时空，黑洞，暗物质，质能方程，量子力学等等，也能感觉到霍金和爱因斯坦的思维过程，只是我没有那么多高级数学工具，没法做更为专业的研究，但我依旧能提出一些大胆的思维假说，比如时间的本质就是黑洞，暗物质就是黑洞现象，黑洞现象是我们用存在思维观测的盲区，量子力学的随机无规则，也并非那种严格意义的无规则随机性等等。 假说真实情况我并不在乎，也许我还不知道，但能从主动学习到主动探索求证学习，这个过程很欢快！5小时前
2 赞吴军老师早， 正如老师所说，我对复数的应用就是电能使用的计算，P是设备的有功功率，Q是无功功率，视在功率就可以用P+Qi的方式来表述，比使用三角函数直观得多。 还是要膜拜一下老师，借助法人、宗教等“想象的共同体”来比喻虚数i，最近陪孩子刷了n次哆啦A梦2019电影，里面有一个金句：“想象力才是未来”，没错，i就是数学家对未来的想象力，是数学大厦最有想象力的一层。4小时前
2 赞教科书级别的通识课。每天追完一篇文章，都会加深一点对数学的认知。 越读吴军老师的作品，越感叹吴军老师知识面的广度和深度。6小时前
1 赞起初，人类发明虚数、引入复数的概念，只是为了使诸如x^2+1=0这样的方程有解。虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。比如，笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；而莱布尼兹则认为“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物”。但到了17、18世纪，随着微积分的发明与发展，复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应了起来，从而解决了很多实际问题。1777年，欧拉建立的系统的复数理论，发现复指数函数与三角函数的关系，从而创立了复变函数的一些基本理论；后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路，并应用到了水利学和地图制图学中。19世纪后，复变函数已经渗透到了代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时它在热力学,流体力学和电学等方面也有广泛应用。可以说，正是由于人类的想象能力，才能在面对真实世界的难题之时，才能无中生有的创造出本来没有的工具，并运用这些虚拟的工具完美的解决问题。当然，人类从发明出这些虚拟的工具，直到在具体领域内广泛应用这些工具，这之中必然存在一定的时间差，这也是吴军老师在之前课程中提到的“滞后效应”的一种表现。1小时前
1 赞吴军老师，理解虚数这个工具，在我看来是对于人类认知的提升。我们都生活在当下的社会里，而历史就成为了现在的虚数，因为有了历史这个虚数，就可以通过历史来了解未来的发展，明白人类发展的方向。和很多人聊天就会发现，那些不懂得历史的人很难看清楚未来发展的道路，也常常走入到误区之中。明白了这些就会发现，人类是生活在现实世界中，但是很多事情如果只是按照现实的方式发展，很难获得进步，迭代，效率也无法获得提升。如果人类还停留在实数世界里，社会就无法建立起规则，制度，法律，规范。永远只能停留在原始社会，部落里面永远也只能保留150个人。根本就无法通过图腾建立宗教，建立起城市，建立现代社会，发展出文明。和老师学习了很多，老师永远都在讨论认知，见识，常识。这些都是现实世界虚拟的一面，根本就是不存在的。正是因为这些不存在的知识，让我们获得了更广阔的认知，可以看到不一样的世界，听到不一样的声音。可以通过认知跳出现有的世界局限，通过知识来思考未来，明白未来发展的方向，去体会历史总在重演，科技永远向前。所以虚数是人类对于现实世界更高纬度的思考，在原始社会需要通过现实来带动虚拟世界的发展。而人类发展到了今天现实需要理论先行，如果没有理论指导现实，根本就无法突破边界和极限进入到下一个时代。这才是为什么在信息时代对于虚数的理解，如此重要的原因。1小时前
1 赞我再补充一个例子说明虚数的作用，这是丹尼尔丹尼特在《直觉泵》提到的例子： 当你要维修一座年久失修的房顶时，你可以用一架梯子来回移动对不同的地方进行修理，也可以在四周搭设结实的脚手架，这两种方法都可以，但是脚手架可以应对大工程。 这就是虚数的作用。1小时前
1 赞以前虽然学过虚数，但是我一直对这个概念表示不太理解，觉得这样的虚构意义何在？今天听了这堂课，受益匪浅。其实我们生活中虚构的概念实在是很多，只是我们日用而不知了，比如0，比如-1，-2，这些我们现在生活中日常的数字，在数千年前的人们眼中，也跟现在的虚数一样，是非常难以理解的。而且，很多东西不一定非要在现实生活中存在，一个想象的共同体，比如中国，在古人只是生活在这片土地上，但眼中可能并没有自己是中国人这样的一个概念，但是现在我们人人都认为自己是中国人。所以说，数学的范围很广，他涵盖了现实世界并且延伸到了虚拟世界，你的想象力边界有多远，数学的延伸范围就有多大。2小时前
1 赞目前学来还是比较容易懂的，丝毫没有《数学之美》看到后面的滞涩感。 “构想出不存在的事物”，其实就是“尤瓦尔·赫拉利”笔下的“共同想象”。 尤瓦尔·赫拉利称，人类的老祖先智人，在进化过程中之所以能打败更强大的尼安德特人，就是因为“共同想象”。 通过“共同想象”，有利于驱动智人的大规模协作。其背后，是智人突变的基因中，语言能力更强，所以能用语言能力组织协作。2小时前
1 赞老师讲到的催化剂，我深有感触，因为自己是化学专业，当时我们实验室做的课题就和催化剂有关。说起来也确实奇妙，一个实验自身很难进行，将催化剂放进去，实验就能很快进行下去，而且最终催化剂不会变少。很多搞化学的人都在改进催化剂，如果找到一种特定的催化剂，使得化学反应能达到相当的速率，不仅是理论上的成果，也会带来巨大的实际效益。用这样的例子来类比虚数，确实会让我觉得容易理解很多，实际问题中没有的概念，参与到实际问题的解决过程中，能够很快解出实际问题。很喜欢第三个例子，那个讲虫洞的，能将虚数这样一个数学概念和虫洞联系起来，确实挺开脑洞的。采用这种方式，能让喜欢科幻的人更容易接受这个知识。之前看了几集摩根弗里曼的《穿越虫洞》，对于这个概念很好奇，期待老师后续的文章中能有更多这方面的内容。通过虚数，讲到人类可能是唯一一个能够构想出不存在的事物的物种。让我想到了我们的老祖先智人，经常就说要去森林里找仙女。正是因为他们能够一同构想一些不存在的事物，所以能够达成共识和合作，所以才有群体力量打败尼安德特人，开始了一趟遇到什么吃什么的旅途。 最后一点自己的想法是，很佩服第一个想出虚数的这个人，也很佩服那些为了解决现实问题，绞尽脑汁找到一个个现实中不存在的工具，最终解决了现实问题的人。如果我们陷入到当下的困境中，在实际生活中找不到解决方法，或者我们可以尝试换一个思路，向之前的贤者求教，学习和运用他们创造出来的工具，也许会让我们事半功倍。3小时前